P.


Le futur n'est qu'une disposition de pensée à fabriquer de l'évènement.

En quoi le hasard est il causal ?

Le chaos : présentation et application à la dynamo terrestre.

Longtemps on a cru que l'évolution erratique, complexe d'un système était due au fait que ce système possédait de nombreuses variables indépendantes. Le physicien L. Landau relie la turbulence hydrodynamique à l'existence d'un très grand nombre, voire une infinité de fréquences en interaction. Or, depuis les années 70, il est apparu que certains systèmes simples ne dépendant que d’un tout petit nombre de variables pouvaient néanmoins avoir des comportements chaotiques.

L'existence du chaos a été formalisée d'un point de vue théorique et observée dans de nombreuses expériences, aussi bien en physique que dans d'autres domaines.

1. Prédiction et chaos

La notion de prédiction (ou celle inverse de rétrodiction) représente un concept essentiel en physique. L'évolution d'un système peut en effet être prévue à l’avance si l'on connaît les équations qui le régissent : la donnée des conditions initiales permet de déterminer par le calcul l’état du système aussi loin que l'on veut dans le temps et avec une très bonne précision.

Pourtant, en 1963, le météorologue E. Lorenz modélise l'évolution des mouvements atmosphériques par un système d’équations devenu célèbre depuis, et met en évidence des évolutions chaotiques. Mais ce résultat reste inconnu de la plupart des scientifiques et il faut attendre 1971 pour que D. Ruelle et F.Takens montrent qu’un système dynamique (c’est-à-dire dépendant du temps) non-linéaire peut devenir chaotique à partir de trois variables seulement . Cette découverte, qui bouscule les idées classiques, mettra plusieurs années avant d'être acceptée par l'ensemble de la communauté scientifique, malgré l'existence de confirmations expérimentales indiscutables à la fin des années 70.

L'existence du chaos, appelé également chaos déterministe pour bien le différencier d’un phénomène aléatoire, avait en fait été pressentie par Poincaré à la fin du siècle dernier. S'intéressant aux problèmes de mécanique céleste, il avait en effet montré que, malgré un caractère déterministe, le problème des trois corps (par exemple Terre-Lune-Soleil) ne pouvait donner lieu à prédiction. Poincaré avait remarqué cet effet puisqu'il écrit : " Une cause très petite, qui nous échappe, détermine un effet considérable que nous ne pouvons pas ne pas voir et alors nous disons que cet effet est dû au hasard. ".

2. Propriétés du chaos

Sensibilité aux conditions initiales

De manière à présenter plus quantitativement les propriétés du chaos, on peut étudier un modèle de croissance des populations animales. Ce modèle très simple, appelé application logistique, relie la population Xn+1 de l'année à la population Xn de l’année n par :

Si on ne conserve que le premier terme, linéaire, de cette équation, soit , on obtient une croissance exponentielle de la population. En fait, les limitations en nourriture ou les conditions naturelles conduisent à une saturation que l'on peut représenter par un taux de croissance du type , d’où l’équation non-linéaire du dessus. Suivant la valeur de K, l’évolution de cette équation est différente.  

Application logistique : évolution sur 25 ans d’une population avec K = 4 pour deux valeurs initiales différentes de 0,00001.

Ainsi, pour K = 4, si l’on part de deux conditions initiales qui diffèrent d’un écart de 0,00001, on obtient des évolutions qui divergent à partir de n = 15, empêchant par là-même toute prédiction : le système est devenu chaotique. Cela veut dire par exemple que, dans ce modèle simple, une erreur de comptage de 1  élément sur 60000 conduit à une évaluation complètement fausse à l’échelle de 15 ans.

Une des propriétés essentielles du chaos est donc bien cette sensibilité aux conditions initiales que l'on peut caractériser en mesurant des taux de divergence des trajectoires. On peut ainsi définir un horizon de prédictibilité, appelé temps de Poincaré : ce temps va de quelques jours pour les prévisions météorologiques à quelques années dans le cas des populations animales et à la centaine de millions d’années pour la mécanique céleste. Insistons encore une fois : la météorologie ne pourra jamais être prédite précisément au-delà de ce temps, quelle que soit la précision des mesures effectuées et la puissance de calcul disponible ; il faudrait une connaissance infiniment précise des conditions initiales pour pouvoir prétendre à cela.

Attracteur étrange

Comment distinguer un phénomène chaotique d’un phénomène aléatoire ?

C'est la question essentielle que se posent les physiciens lorsqu’ils sont confrontés au comportement chaotique d'un système. Pour illustrer cet aspect, on peut prendre un exemple simple issu de la mécanique, celui du pendule entretenu :

Cette équation décrit le comportement d'un oscillateur entretenu, avec croissance des oscillations de petite amplitude (si ) et décroissance des oscillations de grande amplitude (pour ). Un tel système est entièrement déterminé par la donnée de deux variables : sa position (l'angle q) et sa vitesse ( ) et son mouvement peut être représenté dans un espace à deux dimensions, appelé espace des phases, ayant pour coordonnées position et vitesse. Dans cet espace, la trajectoire du pendule entretenu est représentée par une courbe fermée, pratiquement une ellipse, que l’on appelle un cycle limite et vers lequel convergent toutes les trajectoires. Ce cycle limite est qualifié d’attracteur  et correspond aux oscillations périodiques du pendule.

Dans un espace des phases à 2 dimensions, les attracteurs sont des points (cas du pendule simple avec frottement) ou des cycles limites et les systèmes à 2 variables ne peuvent pas conduire à des mouvements chaotiques. Mais il suffit de rajouter une troisième variable pour que de tels systèmes, dans certaines conditions, deviennent instables. Ceci peut être réalisé à l’aide d’un montage très simple : une boussole dans un champ magnétique oscillant (figure (a) suivante). La boussole représente un oscillateur amorti, à deux variables, oscillant autour de la direction du nord magnétique, avant de s’immobiliser dans cette direction. Le champ magnétique oscillant est créé par un aimant pendulaire qui rajoute une troisième variable : la phase de l’oscillation. Lorsqu’on approche suffisamment les deux systèmes, l'aiguille de la boussole a un comportement chaotique, totalement imprévisible. La reconstruction de la trajectoire dans l'espace des phases à trois dimensions montre cette fois dans un plan de coupe (la section de Poincaré) une figure finement structurée et feuilletée appelée attracteur étrange . Cette figure est très différente de celle que l'on obtiendrait dans le cas d’un processus aléatoire, pour lequel les points couvriraient l’espace des phases de manière totalement désordonnée.

Boussole chaotique (a) et attracteur étrange (b).

Un attracteur étrange représente donc en quelque sorte la signature de l’ordre qui est sous-jacent dans le chaos déterministe. Cet objet particulier possède une structure fractale, c’est-à-dire qu’il a la même structure quelle que soit l’échelle à laquelle on le regarde, et possède une dimension non-entière, comprise entre 2 et 3 pour la boussole chaotique.

Scénarios de transition vers le chaos

On ne sait toujours pas à l'heure actuelle dans quelles conditions un système va devenir chaotique. Cependant, il existe un certain nombre de scénarios de transition vers le chaos qui sont universels, et si un système entre dans un de ces scénarios, son évolution peut être décrite. Supposons que la dynamique étudiée dépende d’un paramètre de contrôle. Lorsqu’on varie ce paramètre, le système peut passer d’un état stationnaire à un état périodique, puis au-delà d’un certain seuil, suivre un scénario de transition et devenir chaotique.

Pour illustrer cette idée, reprenons l'exemple de l'application logistique. Si le paramètre K est inférieur à 3, on voit qu’après une période de croissance, les itérations successives convergent vers un état d’équilibre : la population se stabilise et chaque année à la même époque, on retrouve la même population. Pour K supérieur à 3, on assiste à un doublement de période : la population ne retourne à l'identique que tous les deux ans ; une année sur deux elle est plus élevée et entre deux plus faible. Puis pour K supérieur à 3,45.., on a un nouveau doublement de période : il faut maintenant quatre ans pour retrouver la population d'origine. Ce scénario se répète à l’infini, pour des valeurs de K de plus en plus rapprochées jusqu'à K proche de 3.57.., valeur à partir de laquelle l'application est devenue chaotique.

Ce scénario de transition vers le chaos, appelé scénario par doublement de période, est sans doute le plus connu, mais on peut au moins en citer deux autres :

  • le scénario via la quasi-périodicité dans lequel un comportement devient chaotique par l’apparition successive de trois fréquences incommensurables.
  • le scénario via les intermittences qui se caractérise par l’apparition erratique de bouffées chaotiques dans un système qui oscille de manière régulière.

Tous ces scénarios ont été prédits par la théorie et observés dans de nombreuses expériences. En physique, c’est notamment la convection thermique de Rayleigh-Bénard, dans laquelle une couche de fluide située entre deux plaques horizontales est soumise à un gradient de température vertical, qui a servi à l’origine de système modèle pour l’étude du chaos. Depuis, le chaos a été mis en évidence dans bien d’autres domaines : optique, chimie, biologie, et même économie.

Il ne faudrait cependant pas conclure que l’histoire du chaos est terminée, bien au contraire !

De nombreuses recherches portent actuellement sur les possibilités de contrôle du chaos, qui sont susceptibles d’applications dans l’industrie par exemple. De plus, tout ce que nous avons présenté ici ne concerne que le chaos temporel relatif à des systèmes relativement confinés et homogènes, dans lesquels l’espace n’intervient pas et qui ne dépendent que du temps. Si ces systèmes sont étendus et dépendent à la fois de l’espace et du temps, nous entrons dans le domaine du chaos spatio-temporel où tout – ou presque - reste à faire.

3. Un exemple de système chaotique : la dynamo terrestre

L'effet dynamo consiste en la génération spontanée d’un champ magnétique par un fluide conducteur en mouvement. On pense que c’est cet effet qui est à l'origine des champs magnétiques observés dans la plupart des objets de l'Univers, à commencer par la Terre et le Soleil, mais également les étoiles, les galaxies… Mais si les équations qui régissent ce problème sont parfaitement connues - il s’agit des équations de Maxwell associées à la loi d'Ohm pour le champ magnétique et de l'équation de Navier-Stokes pour le fluide - il n'existe pas à l'heure actuelle de solution complète et exacte à ce problème, et aucune expérience n’a pu montrer cet effet au laboratoire.

La géodynamo

Le champ magnétique terrestre a grossièrement la distribution d’un dipôle à la surface de la Terre. Il est engendré par effet dynamo dans le fluide conducteur (principalement du fer) qui est situé à l’intérieur du noyau. Ce fluide est mis en mouvement sous l’effet des phénomènes de convection existant entre le centre de la Terre (la graine solide) qui est plus chaud et le manteau plus froid, la force de Coriolis due à la rotation de la Terre et les forces magnétiques créées par le champ magnétique lui-même.

Ce champ magnétique paraît stable à l'échelle humaine : le pôle magnétique se déplace lentement au voisinage du pôle géographique (variations séculaires) mais il a profondément varié au cours des âges géologiques, non seulement en intensité, mais aussi en signe. Les mesures de ces variations remontent aux années 60, lorsqu’on découvrit la structure magnétique des planchers océaniques et la tectonique des plaques. En effet, ces planchers basaltiques migrent lentement des dorsales océaniques où ils sont engendrés jusqu'aux zones de subduction où ils s’enfoncent dans le manteau. En remontant des profondeurs du manteau, cette roche basaltique fluide se refroidit au fond des mers et passe de ce fait en-dessous de son point de Curie. L'orientation de l’aimantation qu’elle acquiert alors est parallèle au champ magnétique terrestre du moment. Cette découverte associée aux méthodes de datation absolue a ainsi permis d'établir des échelles qui montrent que la polarité du champ magnétique s’est inversée des centaines de fois, le pôle magnétique Nord ayant pointé à peu près aussi souvent au Sud qu'au Nord. Qui plus est, ces inversions ne sont pas régulières, mais bien au contraire chaotiques  et donc imprévisibles.

Un modèle simple

Dès 1955, E. Bullard propose un modèle de dynamo auto-excitée pour essayer de comprendre ces phénomènes. Un disque conducteur tourne autour de son axe dans un champ magnétique constant. Une tension apparaît entre l’axe et la périphérie du disque, qui, appliquée aux bornes d’une spire, donne naissance à un courant. Ce courant crée à son tour un champ magnétique qui renforce le champ initial. Lorsque la rotation du disque est suffisamment rapide, le champ initial est inutile : la dynamo est auto-excitée. Ce modèle théorique - il est malheureusement pratiquement impossible de réaliser cette expérience - montre donc bien l’existence de l’effet dynamo, mais elle conduit à un champ magnétique stable, sans inversion.

Dynamos de Bullard (a) et de Rikitake (b).

En revanche, Rikitake montre en 1958 que si l'on couple deux dynamos analogues à celle de Bullard, on peut mettre en évidence des transitions spontanées et chaotiques du champ magnétique induit entre les deux polarités possibles. En fait, les équations décrivant ce modèle peuvent être réduites à un système de 3 équations différentielles ordinaires mais non-linéaire reliant la vitesse angulaire commune Ws deux dynamos et les courants électriques i1et i2produits respectivement par chacune des dynamos :où r et n sont des par 

mètres. Tout comme dans le cas du modèle de météorologie de Lorenz, il n’existe pas de solution analytique à ce problème, mais la résolution numérique met en évidence des solutions chaotiques pour certaines valeurs des paramètres. Il est certain que ce modèle ne prétend pas décrire les détails de la géodynamo, mais il a le mérite de montrer sa nature instable et il rend bien compte des basculements chaotiques du champ magnétique. Il montre également qu'une dynamique erratique ne dépend pas nécessairement de l'intervention d'un très grand nombre de variables.

Résultats des calculs du modèle de Rikitake (Les unités sont arbitraires).

Des recherches en cours

A ce stade, le lecteur pourra se demander pourquoi il n’existe pas à l'heure actuelle de confirmation théorique ou expérimentale de l'existence de cet effet dynamo, mais uniquement des observations sur des objets naturels. Les équations régissant ce phénomène sont en effet bien connues, et de nombreuses études ont été et sont encore consacrées à ce sujet, mais il n’existe aucun critère général permettant de prédire qu’un écoulement donné réalisera l’effet dynamo. Ceci est dû en particulier au fait que les écoulements sont turbulents. Des simulations numériques de modèles approchés ont été réalisées, notamment celle de G. Glatzmaier et P. Roberts en 1996 qui ont utilisé toute la puissance de calcul du plus puissant ordinateur disponible à cette date : elles ont montré l’existence d’un champ magnétique terrestre à forte composante dipolaire et peut être,  mais ce point mériterait d'être confirmé par une première inversion.

On connaît cependant une condition nécessaire (mais non suffisante !) pour qu’un écoulement présente l’effet dynamo : il faut que le nombre de Reynolds magnétique de l’écoulement Rmsoit supérieur à un nombre critique Rm

où U et L sont respectivement une vitesse et une longueur caractéristiques de l'écoulement, la perméabilité du vide est de l'ordre de 150. Il est maintenant aisé de comprendre pourquoi il est difficile de réaliser une expérience : il faudrait pouvoir agiter plusieurs mètres cube du fluide le plus conducteur dont on dispose – le sodium – à des vitesses de l'ordre de 10 mètres par seconde. Or chacun sait combien la manipulation de sodium est délicate. Il existe pourtant à l’heure actuelle plusieurs équipes en compétition dans le monde, aux USA, en Allemagne, en Lettonie et en France qui essaient de monter de telles expériences avec du sodium.

la

 

Quelques références pour aller plus loin :

BERGE P., POMEAU Y. et VIDAL C., 1984. " L’ordre dans le chaos ", Hermann.

RUELLE D., 1991. " Hasard et chaos ", Odile Jacob.

BERGE P., DUBOIS M, POMEAU Y., 1994. " Des rythmes au chaos ", Odile Jacob.

L'attracteur étrange de Lorenz

Edward Lorenz

Edward N. Lorenz., météorologue américain au MIT, découvre en 1963 que l'on peut obtenir un comportement chaotique avec seulement trois variables, soit un système non linéaire à trois degrés de liberté. Il montre donc qu'une dynamique très complexe peut apparaître dans un système formellement très simple. L'appréhension des rapports du simple et du complexe s'en trouve profondément bouleversée. En particulier, on s'aperçoit que la complexité peut être intrinsèque à un système, alors que jusque-là on la rapportait plutôt à un caractère extrinsèque, accidentel, lié à une multitude de causes. Chez Lorenz, l'intervention de l'ordinateur est cruciale. La sensibilité aux conditions initiales, ce qu'on appellera couramment plus tard l'effet papillon , est en effet révélée par le biais de l'instabilité d'un calcul numérique. Mais, surtout, Lorenz exhibe sur son écran d'ordinateur l'image surprenante de son attracteur. Dans ses travaux de mécanique céleste, Poincaré en avait eu l'intuition, mais il l'avait évoqué par des phrases obscures : Lorenz, lui, explique sa construction par des procédures itératives et la donne à voir. Il faudra ensuite près de quinze ans pour que ces résultats soient compris et assimilés par des groupes scientifiques différents, des météorologues aux mathématiciens, des astronomes aux physiciens, aux biologistes des populations, etc.

 

L'effet papillon, tient son nom de l'image employée par un météorologue pour illustrer la sensibilité aux conditions initiales des phénomènes chaotiques existant en météorologie : un battement d'ailes d'un papillon au Japon pourrait provoquer un ouragan sur l'Atlantique...

 

Les équations de Lorenz

 
Les équations de Lorenz décrivent les phénomènes de convection d'un fluide idéal à deux dimensions, dans un réservoir chauffé par le bas.
 

 

 

dx/dt = s(y-x)
dy/dt = r x - y - xz
dz/dt = xy - b z

 

s, r et b sont des réels positifs. Les paramètres peuvent être interprétés de la manière suivante :

xest proportionnel à l'intensité du mouvement de convection (positif pour un mouvement dans le sens des aiguilles d'une montre, une valeur plus grande indiquant une circulation plus vigoureuse)
yest proportionnel à la différence de température entre les courants ascendants et les courants descendants (le paramètre est positif quand le fluide chaud est au fond du réservoir)
zest proportionnel à la distortion du profil du gradient de température par rapport à la linéarité (une valeur nulle correpond à un gradient linéaire, tandis qu'une valeur positive indique que la température est plus uniforme dans le milieu du réservoir, et que les plus forts gradients se trouvent sur les bords du réservoir)
test le temps
sest la constante de Prandtl , qui caractérise la viscosité et la conductivité thermique du fluide
rest un paramètre de contrôle, qui représente la différence de température entre le bas et le haut du réservoir
bmesure le rapport entre hauteur et largeur du système de convexion

Au delà d'une valeur critique du paramètre r, le comportement du système est chaotique. L'ensemble des trajectoires possibles des phases est l'attracteur étrange de Lorenz.

 

Les trajectoires de phase

Si  (s=3 ; r=26,5 ; b=1), est la projection dans le plan (x,y) du point (x,y,z). La couleur varie en fonction du temps.

 

 

Des vues de l'attracteur

 

Les figures ci-dessous sont des vues de l'attracteur correspondant aux paramètres : s=4 ; b=1 et r=48 (soit trois fois la valeur critique à partir de laquelle le comportement du système est chaotique)

vue de côtévue de face
vue de dessusvue obliqueautre vue oblique

 

Septième épreuve, trouver le Code d'acces  

        

1  K  U  12K  K1211     ......

 

Sachez ce que vous faites avant de cliquer.

Laisser le message sur "humeur".

 

 Causalité.

La causalité est un axiome de la pensée. Ce principe rationel s'énonce en deux points.

  1. Tout phénomène possède une cause.
  2. Une même cause produit les mêmes effets, dans des conditions et dans un environnement identique. Ce que nos sens constatent, de ce principe de causalité s'applique aux sciences dures ( physiques) , mais à cause des boucles de rétroactions et aussi aux variables importantes, ce principe ne s'applique pas aux sciences dites scociales et humaines. Tout effet a une cause qui précéde l'effet dans le référentiel galiléen ou référentiel inertiel.  Or cela fait très longtemps que l'on a changé de référentiel.Il en est de même pour le référentiel d' Aristote qui avait développé dans l'Ethique à Nicomaque, les quatre causes.

Matérielle, Forme et matière confondues dans le sunolon,

Formelle, L'idée de la forme, Statue ou homme, forme identique.

Motrice, Tout est mouvement.

Finale, La Nature ne fait ni vain ni superflu.

De cette dernière reflexion, il ressort ce que nous appelons notre principe d'intentionalité.

C'est à la fois le principe de parcimonie d'Ockham et celui de téléologie, du grec télos, fin, but et logos sciences et discours. La téléologie s'apparente au finalisme de Teilard de Chardin. Le finalisme qui consiste à expliquer la cause par sa fin c'est à dire sa conséquence, laisse perplexe.

La vie n'a d'autre finalité que de jouer sur les "matrioscka de conscience". Par la conscience absolue, il ne peut y avoir de temporalité cause-conséquence. Il ne peut y avoir dés lors que conscience absolue. La nature n'est qu'une intention d'absolu. Tout est dans tout instant présent. Tout est dans la matière, sa forme, son intentionalité, son moteur, sa finalité, sa liberté. La conscience libre utilise tout le réel de sa disposition de consciences pour aller par la dualité du temps et de l'espace à la reconquète de l'absolu. Dans une des tradition, le rachat des fautes du bon larron gomme la cause des fautes. Les postulats réincanatoires, et/ou salvateurs s'éclairent ainsi d'un jour nouveau.

 L'Etre ne SE pense pas.

Toute representation est fausse, parce que incomplète.  C'est comme si on voulait définir le contenu à partir de son emballage. Le contenu fini par être conditionné par l'emballage.

Pour ceux qui veulent entrer en méditation il faut oublier l'intention, c'est très difficile.

Nous proposons de mettre dans la fosse à Pyrrhon toutes les fausses philosophies, toutes les croyances et de poser dessus la dalle soutenue par la gnose et le tao. Sur cette dalle, et dans cette réalité, il n'y a rien car :

Expliquer c'est transformer

Penser c'est manipuler.

Seul le respect de l'autre m'évolue.

Coran chap 10/27.

Apocalypse jean 21/27